有限元：無(wú)限逼近真實(shí)世界
馮杰
2024年10月28日 07:23
馬尼爾·蘇里
光明日?qǐng)?bào)（ 2024年10月24日 14版）1.金屬疲勞
2018年4月17日上午11點(diǎn)3分，美國(guó)西南航空1380號(hào)航班從紐約飛往達(dá)拉斯途中的萬(wàn)米高空，飛機(jī)左側(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)上的渦輪葉片因金屬疲勞而發(fā)生斷裂。脫落的葉片引發(fā)發(fā)動(dòng)機(jī)爆炸，爆炸后產(chǎn)生的金屬碎片損壞了機(jī)身，并擊碎了第14排的一扇舷窗。這導(dǎo)致客艙內(nèi)氣壓迅速下降，使得一名乘客半個(gè)身子被吸出受損窗戶外，遭受了致命傷害。最終，飛行員成功將飛機(jī)安全降落在費(fèi)城，避免了更大的災(zāi)難。
多年來(lái)，金屬疲勞引起的飛機(jī)事故數(shù)量一直在持續(xù)增加，在剛剛過(guò)去的21世紀(jì)10年代的這十年里，事故數(shù)量已增至30起，其中幾起事故嚴(yán)重到需要緊急迫降。2024年1月，波音737 Max 9飛機(jī)在約5000米的高空中發(fā)生事故，門塞突然炸開。初步調(diào)查結(jié)果顯示這可能是螺栓丟失所致，但波音737 Max家族因金屬疲勞引起的安全問(wèn)題并非首次，它曾在2019年強(qiáng)制更換了機(jī)翼前緣縫翼（前緣縫翼是裝在機(jī)翼前緣的一個(gè)小翼面），因?yàn)檫@里更容易出現(xiàn)裂紋。
一架飛機(jī)由數(shù)百萬(wàn)個(gè)零件緊密地組合而成，其中可能出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題。連續(xù)飛行會(huì)使這些零件經(jīng)受不斷交替的強(qiáng)烈的應(yīng)力加載與卸載，在此期間，制造過(guò)程中不可避免的小缺陷會(huì)導(dǎo)致設(shè)備出現(xiàn)微小裂紋。一旦裂紋擴(kuò)展得足夠長(zhǎng)，就像西南航空1380號(hào)飛機(jī)渦輪葉片底部的裂紋一樣，毗鄰裂紋的部件就會(huì)斷裂。因此，飛機(jī)設(shè)計(jì)師需要預(yù)測(cè)部件將會(huì)承受的最大應(yīng)力。
裂紋可能出現(xiàn)在大壩、橋梁和建筑物等巨大的結(jié)構(gòu)中，也可能出現(xiàn)在身體的骨骼和牙齒等生物結(jié)構(gòu)中。例如，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院的工程師正在針對(duì)2021年佛羅里達(dá)州一處海濱公寓樓倒塌事件建模，以此分析支撐體裂紋在這場(chǎng)災(zāi)難中可能發(fā)揮的作用。另外，最近有研究分析了在北大西洋發(fā)生內(nèi)爆的“泰坦”號(hào)潛水器，確定了可能發(fā)生斷裂的區(qū)域。
而在金屬、混凝土和牙釉質(zhì)中，裂紋往往形成于應(yīng)力集中的區(qū)域——隨著裂紋擴(kuò)展，當(dāng)尺寸超過(guò)臨界長(zhǎng)度（不同材料具有不同的臨界裂紋長(zhǎng)度）時(shí)，就可能帶來(lái)非常危險(xiǎn)的后果。
工程師可以使用試驗(yàn)機(jī)來(lái)研究各種裂紋的危害，從而防止故障發(fā)生。現(xiàn)在，機(jī)器或建筑結(jié)構(gòu)通常要開展實(shí)體檢測(cè)，這是一種重要的故障防御措施，但這樣的測(cè)試有時(shí)成本高昂，且并非總是可行。一旦零件投入使用，就應(yīng)定期檢查，這樣的成本也很高。
除了這些實(shí)際操作策略外，防止故障發(fā)生的第三種重要策略是計(jì)算機(jī)模擬。在開發(fā)過(guò)程中，模擬可以幫助工程師創(chuàng)造新的設(shè)計(jì)，并測(cè)試設(shè)計(jì)能否應(yīng)對(duì)多種不同的服役條件，從而優(yōu)化結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與重量等特征。例如，飛機(jī)需要盡可能輕巧耐用。如果實(shí)施得當(dāng)，計(jì)算機(jī)模擬或有助于防止事故發(fā)生。
這些模擬結(jié)果的可靠性對(duì)結(jié)構(gòu)安全至關(guān)重要，但它們并不像制造缺陷、維修差錯(cuò)或檢查頻率那樣受到嚴(yán)格審查或監(jiān)管。工程師在分析1991年挪威石油平臺(tái)倒塌事故時(shí)發(fā)現(xiàn)，由于模擬錯(cuò)誤，預(yù)測(cè)其中一堵內(nèi)部支撐墻需要承受的壓力時(shí)，預(yù)測(cè)值低于實(shí)際值，僅約為實(shí)際承受壓力的一半。因此，原本的加固設(shè)計(jì)不能滿足實(shí)際需求，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)坍塌。
隨著美國(guó)開始實(shí)施大規(guī)模的基礎(chǔ)設(shè)施改造計(jì)劃，確保安全性和耐用性將非常重要。強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)模擬可以幫助解決這兩個(gè)問(wèn)題，同時(shí)減少成本高昂的實(shí)驗(yàn)測(cè)試的需求。然而，令人擔(dān)憂的是，工程師使用的模擬通常并不可靠。而數(shù)學(xué)則在不同的方面展現(xiàn)出自身的優(yōu)勢(shì)，從而在設(shè)計(jì)汽車、飛機(jī)、建筑、橋梁以及其他物體的結(jié)構(gòu)時(shí)，得到更加安全也更經(jīng)濟(jì)的方案。
2.模擬形變
21世紀(jì)的機(jī)器非常復(fù)雜，然而有趣的是，背后的原理卻是基于英國(guó)科學(xué)家羅伯特·胡克于17世紀(jì)70年代發(fā)表的一個(gè)拉丁語(yǔ)字謎。后來(lái)，胡克公布了謎底，意思是彈性物體（如金屬?gòu)椈桑┑男巫兣c施加在其上的力成正比，這就是眾所周知的胡克定律。這一定律只有在物體保持彈性的情況下才有效，也就是說(shuō)，當(dāng)施加的力被移除后，物體能恢復(fù)到初始形狀。當(dāng)力過(guò)大時(shí)，胡克定律就不再適用。
在更高的維度上，情況會(huì)變得更加復(fù)雜。想象一下，輕輕按下粘在桌子上的橡膠方塊。在這種情況下，方塊高度相對(duì)于原始高度的減少量（應(yīng)變），與方塊頂面單位面積上受到的力（應(yīng)力）成正比。正如工程師所說(shuō)，我們也可以從不同的角度對(duì)不同的面施加不同的力，使方塊承受不同的“載荷”。這樣，應(yīng)力和應(yīng)變都將擁有多個(gè)分量，并且通常從一點(diǎn)到另一點(diǎn)發(fā)生變化。只要載荷不是太大，廣義的胡克定律仍然有效。它表明應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)匀怀烧龋欠绞礁鼮閺?fù)雜。例如，將所有應(yīng)力加倍也將使所有應(yīng)變加倍。
人們利用胡克定律來(lái)分析各種各樣的材料，包括金屬、混凝土、橡膠，甚至是骨骼。（該定律適用的力的范圍因材料的彈性而異。）但是，想要弄清楚物體如何響應(yīng)實(shí)際載荷，該定律只提供了眾多所需信息之一。工程師還必須考慮作用于物體的所有力（包括內(nèi)力和外力）的平衡，并且確定應(yīng)變與不同方向上形變之間的關(guān)系。這樣，最終得到的方程被稱作“偏微分方程組”，它們涉及應(yīng)力和應(yīng)變?cè)诓煌较蛏系淖兓?。偏微分方程組太復(fù)雜了，無(wú)法手動(dòng)解決，甚至無(wú)法精確求解，特別是像渦輪葉片和橋梁支撐中用到的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)。
盡管如此，尤其是從1967年的弗拉基米爾·孔德拉特夫起，數(shù)學(xué)家開始分析常見幾何形狀（如多邊形和多面體）的偏微分方程組，以獲得寶貴的見解。例如，應(yīng)力通常在拐角和邊緣附近最大。這就是為什么如果先切一個(gè)缺口，然后從切口處開始將箔紙拉開，會(huì)更容易撕下一張箔紙。
問(wèn)題在于，許多對(duì)安全至關(guān)重要的機(jī)器零件在設(shè)計(jì)時(shí)都包含這些結(jié)構(gòu)特征。通常情況下，邊角會(huì)做得盡可能圓滑，但這些地方仍然更容易形成裂紋。尤其是當(dāng)物體的載荷可以直接將裂紋兩側(cè)向垂直于裂紋面方向拉開時(shí)，裂紋最有可能出現(xiàn)擴(kuò)展。因此，工程師必須特別關(guān)注這些位置及其周圍受到的力，確保物體的載荷不超過(guò)所能承受的最大應(yīng)力，以免開始斷裂。
為此，他們需要找到物體在各種實(shí)際載荷下偏微分方程組的近似解。為了解決這一問(wèn)題，工程師開發(fā)了一種便于使用的技術(shù)：有限元。在1956年一篇里程碑式論文中，工程師們指出，想要理解一個(gè)物體如何形變，可以把它視作由許多相連的部分組成，也就是現(xiàn)在所說(shuō)的有限元。
3.有限元法
假設(shè)你想了解一個(gè)二維彈性物體在受到垂直方向的強(qiáng)風(fēng)撞擊時(shí)，會(huì)如何形變，比如一個(gè)沿邊固定的緊繃屏幕。我們可以把屏幕想象成由一個(gè)個(gè)三角面相連而成，每個(gè)面都可以移動(dòng)和拉伸，但必須一直是平面三角形。（我們也能把屏幕視作由多個(gè)四邊形相連而成。）這個(gè)由三角形構(gòu)成的模型屏幕與原本的光滑屏幕不同，但它提供了一個(gè)更容易處理的問(wèn)題。對(duì)于實(shí)際屏幕，你需要找到每個(gè)點(diǎn)的形變，這是一個(gè)無(wú)限問(wèn)題。但對(duì)于由平面三角形構(gòu)成的模型屏幕，你只需要找到每個(gè)角的最終位置。這是一個(gè)有限問(wèn)題，相對(duì)容易求解，而且根據(jù)這些解，可以推導(dǎo)出屏幕表面的所有其他位置。
物理學(xué)中的一條基本原理指出，屏幕將呈現(xiàn)出勢(shì)能（勢(shì)能表示物體在特定位置上所儲(chǔ)存的能量）最小的形狀。根據(jù)這一原理的說(shuō)法，吉他弦被撥動(dòng)后，預(yù)計(jì)最終將恢復(fù)到原來(lái)的直線形狀。這一原理也適用于簡(jiǎn)化的有限元屏幕，可為節(jié)點(diǎn)的未知形變提供一組相對(duì)簡(jiǎn)單的“線性”方程。計(jì)算機(jī)非常擅長(zhǎng)求解這樣的方程，可以告訴我們模型屏幕會(huì)如何形變。
三維物體也可以采用類似方法建模，通常情況下，它們可以看成是由塊狀或四面體組成，方程數(shù)量也非常多。例如，對(duì)于整架飛機(jī)的建模，人們可能會(huì)面臨一個(gè)有數(shù)百萬(wàn)未知數(shù)的求解問(wèn)題。
雖然有限元法的開發(fā)最初是為了確定結(jié)構(gòu)在受到作用力時(shí)如何變化，但現(xiàn)在這種技術(shù)已被視為求解偏微分方程組的常用方法，并被廣泛應(yīng)用于許多其他領(lǐng)域，包括腫瘤學(xué)（追蹤腫瘤生長(zhǎng)）、制鞋業(yè)（應(yīng)用人體力學(xué)設(shè)計(jì)）、電影動(dòng)畫（使動(dòng)作更加逼真，如2008年皮克斯動(dòng)畫工作室出品的電影《機(jī)器人總動(dòng)員》）、樂(lè)器設(shè)計(jì)（考慮樂(lè)器內(nèi)外振動(dòng)的影響）等。盡管有限元法對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)可能是一個(gè)陌生的概念，但在我們的生活中，應(yīng)該很難找到一個(gè)有限元法不起作用的領(lǐng)域。
有幾個(gè)應(yīng)用案例涉及裂紋建模。例如，在2018年的一項(xiàng)研究中，有限元法被用來(lái)探究牙齒中裂紋如何擴(kuò)展，以及什么修復(fù)措施可能最有效。在另一項(xiàng)研究中，科學(xué)家調(diào)查了骨質(zhì)疏松癥在不同年齡可能導(dǎo)致哪些類型的股骨骨折。此外，有限元模擬還有助于揭示故障發(fā)生的根本原因，如佛羅里達(dá)州公寓樓倒塌和“泰坦”號(hào)爆炸事件，而且這也是飛機(jī)事故后的例行工作。
20世紀(jì)70年代，一群工程師根據(jù)他們積累的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)布了幾個(gè)商業(yè)有限元代碼。這些“遺留”代碼中最有名的是最初在20世紀(jì)60年代末為美國(guó)航空航天局編寫的，現(xiàn)在被稱作“NASTRAN”的開源代碼。如今，NASTRAN仍然是航空設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的程序，在這一步，工程師會(huì)對(duì)設(shè)計(jì)的整個(gè)飛機(jī)的計(jì)算機(jī)模型進(jìn)行粗略的有限元分析，以確定最有可能出現(xiàn)結(jié)構(gòu)問(wèn)題的區(qū)域和部件。然后，再對(duì)這些區(qū)域和部件做更詳細(xì)的單獨(dú)分析，以確定它們將承受的最大應(yīng)力以及其中裂紋的生長(zhǎng)方式。
這樣就可以解答諸如螺栓或渦輪葉片是否會(huì)斷裂的問(wèn)題。幾乎所有這類局部分析都涉及幾十年前推出的遺留程序，因此它們?cè)谏虡I(yè)環(huán)境中占有很大的市場(chǎng)份額。我們乘坐的飛機(jī)或駕駛的汽車中，成品零件的設(shè)計(jì)在很大程度上依賴于這些代碼。這些代碼給工程師提供的答案能有多準(zhǔn)確值得商榷。
4.有多可靠
早些時(shí)候，我們了解到如何利用有限元法確定模型屏幕的形變，但這一結(jié)果與真實(shí)形變有多接近？法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·塞亞提出的一個(gè)非凡定理有助于回答這個(gè)問(wèn)題。1964年，基于俄羅斯數(shù)學(xué)家鮑里斯·G.加勒金的研究，塞亞在他的博士論文中首次提出了這一定理。該定理指出，只要將勢(shì)能最小化，那么在模型屏幕可承受的所有形變中，我們的方法計(jì)算出的形變將最接近偏微分方程組預(yù)測(cè)的精確解。
到20世紀(jì)70年代初，世界上已有多位數(shù)學(xué)家利用塞亞定理證明，隨著網(wǎng)格變得越來(lái)越精細(xì)，單元也變得越來(lái)越小、越來(lái)越多，有限元模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際形狀之間的差異將減小到零。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家伊沃·巴布斯卡和阿卜杜勒·卡迪爾·阿齊茲分別就讀于美國(guó)馬里蘭大學(xué)帕克分校和巴爾的摩郡分校。他們首次在1972年一本里程碑式的書中提出了統(tǒng)一的有限元理論，這一理論融合了上述結(jié)果與其他相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)果。
但大約在同一時(shí)期，數(shù)學(xué)家開始發(fā)現(xiàn)工程師在商業(yè)有限元程序中加入了各種改動(dòng)和“伎倆”，這樣的代碼往往會(huì)失去能量最小化的關(guān)鍵屬性，但在實(shí)踐應(yīng)用中似乎更有效。麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家吉爾伯特·斯特朗將這類改動(dòng)命名為“變分不當(dāng)”（其中“變分”一詞來(lái)源于變分法，與有限元法有關(guān)）。數(shù)學(xué)家可以證明，其中一些變分行為是良性的，但另一些則有可能產(chǎn)生極其錯(cuò)誤的答案。尤其是用于處理有限元精度不足——也就是“鎖定”現(xiàn)象——的解決方法。當(dāng)有限元法背后的彈性方程中包含一個(gè)接近無(wú)窮大的值時(shí)，例如分?jǐn)?shù)的分母是極薄金屬板的厚度，就會(huì)出現(xiàn)鎖定現(xiàn)象。這一現(xiàn)象也常出現(xiàn)在橡膠模型中，在這些模型中，根據(jù)胡克定律預(yù)測(cè)彈性的值比實(shí)際大得多。直到20世紀(jì)90年代，我和巴布斯卡才給出了鎖定現(xiàn)象的精確定義與特征。當(dāng)時(shí)，另外幾位數(shù)學(xué)家，其中最著名的是意大利帕維亞大學(xué)的佛朗哥·布雷齊，已經(jīng)針對(duì)許多問(wèn)題確定了哪些用于處理鎖定現(xiàn)象的改動(dòng)是合理的，哪些是應(yīng)該避免的，否則很可能給出不準(zhǔn)確的答案。
但是，所有這些分析對(duì)遺留代碼的影響甚微，這些代碼中仍然存在有風(fēng)險(xiǎn)的改動(dòng)。原因之一是，在數(shù)學(xué)家提出改動(dòng)建議前，這些代碼已經(jīng)根深蒂固，因此采用他們的建議是不切實(shí)際的。此外，數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)與實(shí)際實(shí)踐之間似乎存在差距，這就是美國(guó)得克薩斯大學(xué)奧斯汀分校航空航天工程教授托馬斯·J.R.休斯所說(shuō)的“灰色地帶”。“對(duì)于常見的問(wèn)題，一些數(shù)學(xué)上可疑的改動(dòng)可能比確定可行的改動(dòng)表現(xiàn)得更好?！?/span>
也許將更安全的方案用于解決鎖定現(xiàn)象所面臨的最大障礙，是數(shù)學(xué)界與工程界在看待有限元建模方面存在差異。數(shù)學(xué)家將有限元解視為一系列近似值之一，這些近似值在適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)條件下，肯定可以收斂到精確解。然而，在工程實(shí)踐中，有限元建模是一個(gè)獨(dú)立的設(shè)計(jì)工具，可以呈現(xiàn)實(shí)際搭建時(shí)物體會(huì)如何變化。一般情況下，普通工程師最多在幾門課程中了解關(guān)于有限元的知識(shí)，通常不會(huì)提及有問(wèn)題的改動(dòng)等內(nèi)容。休斯講述了這樣一則軼事：一家建模公司拒絕購(gòu)買一款較新的軟件產(chǎn)品，因?yàn)樗a(chǎn)生的結(jié)果與NASTRAN程序提供的答案不一致。這家公司堅(jiān)持認(rèn)為NASTRAN的解決方案是準(zhǔn)確無(wú)誤的。（只有通過(guò)對(duì)這一新軟件進(jìn)行逆向工程，它的設(shè)計(jì)者才能讓其產(chǎn)生與NASTRAN相一致的答案。）
實(shí)際上，有限元解與它們本應(yīng)預(yù)測(cè)到的結(jié)果相比，很可能相去甚遠(yuǎn)。原因包括代碼改動(dòng)、數(shù)學(xué)模型的局限性，以及在求解偏微分方程時(shí)用有限問(wèn)題來(lái)替代無(wú)限問(wèn)題。例如，對(duì)大型飛機(jī)部件（如機(jī)身和機(jī)翼）的初步分析就遇到了這種情況。工程師必須使用過(guò)去的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)“調(diào)整”有限元分析的輸出結(jié)果，然后才能得到真正的預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)于尚未經(jīng)過(guò)實(shí)體檢測(cè)的新設(shè)計(jì)，這些累積的知識(shí)對(duì)解讀它們的有限元分析結(jié)果至關(guān)重要。
小型零件的強(qiáng)度分析可能會(huì)帶來(lái)更嚴(yán)重的問(wèn)題，因?yàn)樗鼈兺ǔ]有真實(shí)數(shù)據(jù)可供參考。2022年，一家大型航空公司向4家使用遺留代碼的承包商提出了一個(gè)涉及裂紋分析的難題。這家航空公司發(fā)現(xiàn)，有三家承包商的計(jì)算結(jié)果都與通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定的正確答案大相徑庭。計(jì)算結(jié)果顯示，裂紋生長(zhǎng)速度比實(shí)際慢得多，導(dǎo)致預(yù)測(cè)的安全系數(shù)被夸大，令人十分不安。
其他類似問(wèn)題表明，不準(zhǔn)確的代碼不一定是核心問(wèn)題，事實(shí)上，參與者經(jīng)常做出無(wú)效的簡(jiǎn)化假設(shè)，或是選擇錯(cuò)誤的單元類型（可用的類型很多，包括三角形和四邊形）。這些錯(cuò)誤可能代價(jià)高昂。例如，前文提到的1991年挪威石油平臺(tái)倒塌造成的損失相當(dāng)于如今的16億美元以上。模擬存在缺陷還與F-35戰(zhàn)斗機(jī)的許多疲勞和開裂問(wèn)題有關(guān)，進(jìn)而導(dǎo)致巨大的成本超支與嚴(yán)重的延誤。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算結(jié)果的確定性越低，昂貴的檢查就開展得越頻繁。
5.估計(jì)誤差
估計(jì)模擬的可靠程度，似乎是個(gè)無(wú)解的問(wèn)題。如果不知道計(jì)算模型（比如針對(duì)飛機(jī)部件的模型）的精確解，我們?cè)趺纯赡茉u(píng)估近似解的誤差？不過(guò)，我們還是對(duì)近似解有些許了解：它們滿足物體的偏微分方程組。雖然我們無(wú)法求解這些方程，但我們可以用它們來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)可能解的合理性，這是個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。如果將未知的精確解插入偏微分方程中，結(jié)果只會(huì)是0，而近似解則會(huì)給出一個(gè)剩余項(xiàng)或者說(shuō)殘差（通常稱作R），殘差大小可以衡量一個(gè)解的可靠性。
此外，這種模擬方法是把物體劃分成了只能以特定方式形變的有限單元，因此計(jì)算出的應(yīng)力不會(huì)像現(xiàn)實(shí)中那樣平滑變化，而是在組成單元的邊界處躍變。這些躍變也可以通過(guò)近似解計(jì)算出來(lái)。一旦計(jì)算出殘差和躍變，我們就可以利用巴布斯卡和美國(guó)匹茲堡大學(xué)的沃納·C.萊茵博爾特以及其他數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)70年代末開始開發(fā)的技術(shù)，來(lái)估算與任何單元有關(guān)的誤差。從那時(shí)起，科學(xué)家還開發(fā)出了其他可估計(jì)有限元分析結(jié)果誤差的策略。
估計(jì)誤差有幾個(gè)好處。首先，添加更小和更多的單元通常會(huì)提高準(zhǔn)確度，因此可以通過(guò)編寫代碼，從而在誤差可能較大的區(qū)域自動(dòng)生成更小的單元。我們已經(jīng)從偏微分方程組的數(shù)學(xué)分析中看到，應(yīng)力會(huì)在邊角附近以非常快的速度增加。這一現(xiàn)象還會(huì)使這些區(qū)域的誤差最大。但與其在這些關(guān)鍵位置手動(dòng)創(chuàng)建更精細(xì)的網(wǎng)格，不如利用模型自動(dòng)完成這一步。
其次，對(duì)于那些工程師感興趣的量，估計(jì)總體誤差可以衡量計(jì)算值的準(zhǔn)確度，例如關(guān)鍵區(qū)域的應(yīng)力強(qiáng)度或是某一點(diǎn)的形變。工程師通常希望誤差在一定范圍內(nèi)（根據(jù)不同區(qū)域，范圍從小于2%到10%不等）。遺憾的是，大多數(shù)算法都很難提供準(zhǔn)確的界限?，F(xiàn)在，這仍然是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。即便結(jié)果還不夠準(zhǔn)確，但如果當(dāng)時(shí)考慮了誤差估計(jì)值，工程師幾乎肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)挪威石油平臺(tái)的有限元模型存在問(wèn)題。
要估計(jì)總體誤差，即評(píng)估模擬解的可靠性，一種更好的方法是采用原理不同的有限元法：p-細(xì)化法，提高精度的常用方法叫做h-細(xì)化法。對(duì)于p-細(xì)化法，我們自始至終只使用一個(gè)網(wǎng)格，并且其中的三角形單元不再需要始終保持平面，而是能夠以更多的方式形變，從而提高精度。第一步，該方法允許任意三角形中的直線彎成拋物線，然后逐步讓直線轉(zhuǎn)變成更加復(fù)雜的曲線。這種改動(dòng)給每個(gè)單元提供了更大的形變空間，使它每次形變都能與解的形狀相一致。從數(shù)學(xué)的角度看，這一過(guò)程相當(dāng)于增加多項(xiàng)式的度數(shù)，而這些代數(shù)表達(dá)式描述了不同類型的曲線。
正如巴布斯卡和他的同事（包括我）所證明的那樣，對(duì)于許多問(wèn)題，相較于傳統(tǒng)的h-細(xì)化法，p-細(xì)化法能夠更快地收斂到偏微分方程組的精確解。我還通過(guò)數(shù)學(xué)方法幫助證明p方法沒有鎖定問(wèn)題，因此它不需要h方法所采用的任何改動(dòng)。此外，連續(xù)變化的形狀可以為評(píng)估可靠性提供一種簡(jiǎn)單且可靠的方法。
然而，令人沮喪的是，從20世紀(jì)70年代沿用至今的遺留代碼中，無(wú)論是評(píng)估可靠性的p方法還是h方法都沒有發(fā)揮重要作用。究其原因，可能是因?yàn)檫@些程序是在這些新技術(shù)出現(xiàn)之前就設(shè)計(jì)出來(lái)，并根深蒂固的。在較新的工業(yè)仿真代碼中，StressCheck程序使用了p方法，并且的確可以提供可靠性估計(jì)。
當(dāng)有實(shí)驗(yàn)結(jié)果可供比較時(shí)，這樣的可靠性估計(jì)還有一個(gè)好處：能夠評(píng)估物理現(xiàn)實(shí)與模擬現(xiàn)實(shí)所用的偏微分方程組之間的差異。如果你知道有限元分析是準(zhǔn)確的，但總體誤差仍然較大，你就可以開始使用更復(fù)雜的模型來(lái)彌合差距，例如有些模型背后的物理學(xué)中相稱性不再成立。理想情況下，建模所用的任何數(shù)學(xué)模型都應(yīng)通過(guò)與現(xiàn)實(shí)的比對(duì)來(lái)驗(yàn)證。
6.人工智能
人工智能的出現(xiàn)最有可能改變計(jì)算機(jī)模擬的應(yīng)用。首先，模擬將變得更加廣泛。商業(yè)程序的一個(gè)共同目標(biāo)是使有限元建模技術(shù)開放給更多缺乏該領(lǐng)域固有專業(yè)知識(shí)的用戶。例如，自動(dòng)化聊天機(jī)器人或虛擬助手可以幫助指導(dǎo)模擬。根據(jù)這些助手的訓(xùn)練水平，它們可能是寶貴的資源，尤其是對(duì)于新手工程師。在最理想的情況下，這些助手將用日常用語(yǔ)回答問(wèn)題，而不是技術(shù)性或格式化的措辭，并且將幫助用戶從通常令人眼花繚亂的可用單元類型中做出選擇，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)上可疑的改動(dòng)適當(dāng)給出警示。
有效應(yīng)用人工智能的另一種方式是生成網(wǎng)格，因?yàn)檫@如果是人工完成的，成本可能會(huì)很高，尤其是在拐角、裂紋尖端等結(jié)構(gòu)特征附近所需的精細(xì)網(wǎng)格。數(shù)學(xué)家已經(jīng)確定了在這些區(qū)域設(shè)計(jì)二維和三維網(wǎng)格的精確規(guī)則。人工輸入這些規(guī)則可能非常困難，但使用人工智能應(yīng)該會(huì)相當(dāng)容易。未來(lái)的代碼應(yīng)該能夠自動(dòng)識(shí)別高應(yīng)力區(qū)域并設(shè)計(jì)相應(yīng)的網(wǎng)格。
一種更新穎的方法是利用機(jī)器學(xué)習(xí)來(lái)求解偏微分方程組，從而完全取代有限元分析。這種方法的思路大致是通過(guò)訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)使殘差最小化，從而對(duì)一組載荷對(duì)應(yīng)的形變做出一系列越來(lái)越精確的預(yù)測(cè)。由于裂紋尖端附近的局部應(yīng)力較大，因此這種方法在處理裂紋問(wèn)題時(shí)效果不佳。但研究人員發(fā)現(xiàn)，如果他們利用一些數(shù)學(xué)工具，如孔德拉特夫的數(shù)學(xué)成果，將有關(guān)解的確切性質(zhì)的信息融入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，這種方法就是可行的。
在這些和其他可改變游戲規(guī)則的計(jì)劃中，評(píng)估計(jì)算可靠性這一不起眼的任務(wù)，卻對(duì)所有這些技術(shù)的實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要，但顯然問(wèn)題還沒有被充分解決。人們應(yīng)該依照美國(guó)航空航天局對(duì)可靠性的相關(guān)要求，包括通過(guò)誤差估計(jì)和其他手段證明，人工智能技術(shù)背后的物理學(xué)對(duì)于所模擬的真實(shí)情況仍是有效的，以及模擬得到的近似解（如有限元解）與偏微分方程組真實(shí)解之間的誤差在可接受的范圍內(nèi)。
作為對(duì)“哥倫比亞”號(hào)航天飛機(jī)災(zāi)難的回應(yīng)，美國(guó)航空航天局首次將這些要求編入技術(shù)手冊(cè)。未來(lái)，人類的專業(yè)知識(shí)和監(jiān)督將變得越來(lái)越少，這一前景同樣給人們敲響了警鐘。人工智能只有建立可靠的防護(hù)措施，才能讓我們信任它提供的模擬結(jié)果。多虧了數(shù)學(xué)的進(jìn)步，這樣的防護(hù)措施已經(jīng)能發(fā)揮作用。我們需要將它們納入模擬的方方面面，以確保在這個(gè)日益充滿挑戰(zhàn)的世界中，航空和其他工程的安全性。